Lecture 2 - Poisson Processes
[!tldr] Syllabus + Poisson 过程 + 到达间隔 + 到达时间
Poisson过程的定义
Poisson过程刻画了人们“等待”和“计数”等行为中所蕴含随机性。Poisson 过程是最基本也是最重要的一类连续时间参数随机过程。它是最典型的 Markov过程，Levy过程；而且还是一个半鞅。
基本概念
[!NOTE] Definition 2.1 (计数过程, Counting processes) 如果随机过程\(\left\{ N(t),t \geqslant 0 \right\}\)表示时间段内发生的事件总数，则称随机过程\(N(t)\)为计数过程(Counting processes)
It should qualified:
- \(N(t)\geqslant 0\)
- \(N(t)\)是整数
- 单调性
为了更好的研究计数过程可以增加一些自定义的约束条件：独立增量与平稳增量
[!NOTE] Definition 2.2 (独立增量过程， independent increments) 对于连续时间的随机过程，简单来说就是任意设置间隔点，其中发生的事件数相互独立，这就称为独立增量过程
如果对于\(X(t+s)-X(t)\)，有任意的\(t\)分布相同，则称为平稳增量过程(stationary increments)
接下来利用上面的概念给出最基本的一类随机过程-Poisson过程的刻画
Poisson过程
[!NOTE] Definition 2.3 (Poisson过程, 1) 若计数过程\(\left\{ N(t),t \geqslant 0 \right\}\)满足 + N(0)=0 + 具有独立增量 + 长度为\(t\)的任意区间内的事件数服从均值\(\lambda t\)的Poisson分布，即\(\forall s,t \geqslant 0,P(N(t+s)-N(s)=n)=e^{-\lambda t} \frac{\left( \lambda t \right)^{n}}{n!},n=0,1\dots\)
称为具有速率\(\lambda\)的Poisson过程.
然而条件(3)在实际中是很难验证的，所以我们有必要给出一个等价定义
Remark: 需要掌握其中的差别和互推的方式